方差分析（analysis of variance，簡寫為ANOV或ANOVA)可用于兩個或兩個以上樣本均數(shù)的比較。應(yīng)用時要求各樣本是相互獨(dú)立的隨機(jī)樣本；各樣本來自正態(tài)分布總體且各總體方差相等。方差分析的基本思想是按實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和分析目的把全部觀察值之間的總變異分為兩部分或更多部分，然后再作分析。常用的設(shè)計(jì)有完全隨機(jī)設(shè)計(jì)和隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的多個樣本均數(shù)的比較。
一、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的多個樣本均數(shù)的比較
又稱單因素方差分析。把總變異分解為組間（處理間)變異和組內(nèi)變異（誤差)兩部分。目的是推斷k個樣本所分別代表的μ1，μ2，……μk是否相等，以便比較多個處理的差別有無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。其計(jì)算公式見表19-6。
表19-6 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的多個樣本均數(shù)比較的方差分析公式
| 變異來源 | 離均差平方和SS | 自由度v | 均方MS | F |
| 總 | ΣX2-C* | N-1 | ||
| 組間（處理組間) | 
|
k-1 | SS組間/v組間 | MS組間/MS組間 |
| 組內(nèi)（誤差) | SS總-SS組間 | N-k | SS組內(nèi)/v組內(nèi) |
*C=（ΣX)2/N=Σni,k為處理組數(shù)
表19-7 F值、P值與統(tǒng)計(jì)結(jié)論
| α | F值 | P值 | 統(tǒng)計(jì)結(jié)論 |
| 0.05 | ＜F0.05(v1.V2) | ＞0.05 | 不拒絕H0，差別無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義 |
| 0.05 | ≥F0.05(v1.V2) | ≤0.05 | 拒絕H0，接受H1，差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義 |
| 0.01 | ≥F0.01(v1.V2) | ≤0.01 | 拒絕H0，接受H1，差別有高度統(tǒng)計(jì)學(xué)意義 |
方差分析計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量為F，按表19-7所示關(guān)系作判斷。
例19.9 某湖水不同季節(jié)氯化物含量測量值如表19-8，問不同季節(jié)氯化物含量有無差別？
表19-8 某湖水不同季節(jié)氯化物含量（mg/L)
|
Xij |
春 | 夏 | 秋 | 冬 | |||||
| 22.6 | 19.1 | 18.9 | 19.0 | ||||||
| 22.8 | 22.8 | 13.6 | 16.9 | ||||||
| 21.0 | 24.5 | 17.2 | 17.6 | ||||||
| 16.9 | 18.0 | 15.1 | 14.8 | ||||||
| 20.0 | 15.2 | 16.6 | 13.1 | ||||||
| 21.9 | 18.4 | 14.2 | 16.9 | ||||||
| 21.5 | 20.1 | 16.7 | 16.2 | ||||||
| 21.2 | 21.2 | 19.6 | 14.8 | ||||||
| ΣXij j | 167.9 | 159.3 | 131.9 | 129.3 | 588.4(ΣX) | ||||
| ni | 8 | 8 | 8 | 8 | 32(N) | ||||
| Xi | 20.99 | 19.91 | 16.49 | 16.16 | |||||
| ΣX2ijj | 3548.51 |
3231.95 |
2206.27 |
2114.11 |
11100.84(ΣX2) | ||||
H0：湖水四個季節(jié)氯化物含量的總體均數(shù)相等，即μ1=μ2=μ3=μ4
H1：四個總體均數(shù)不等或不全相等
α=0.05
先作表19-8下半部分的基礎(chǔ)計(jì)算。
C= （Σx)2/N=(588.4)2/32=10819.205
SS總=Σx2-C=11100.84-10819.205=281.635
V總=N-1=31
V組間=k-1=4-1=3
SS組內(nèi)=SS總-SS組間=281.635-141.107=140.465
V組內(nèi)=N-k=32-4=28
MS組間=SS組間/v組間=141.107/3=47.057
MS組內(nèi)=SS組內(nèi)/v組內(nèi)=140.465/28=5.017
F=MS組間/MS組內(nèi)=47.057/5.017=9.380
以v1（即組間自由度)=3，v2（即組內(nèi)自由度)=28查附表19-2，F(xiàn)界值表，得F0.05(3,28)=2.95,F0.01(3,28)=4.57。本例算得的F=9.380＞F0.01(3,28),P＜0.01,按α=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為湖水不同季節(jié)的氯化物含量不等或不全相等。必要時可進(jìn)一步和兩兩比較的q檢驗(yàn)，以確定是否任兩總體均數(shù)間不等。
資料分析時，常把上述計(jì)算結(jié)果列入方差分析表內(nèi)，如表19-9。
表19-9 例19.9資料的方差分析表
| 變異來源 | SS | v | MS | F | P |
| 組間 | 141.170 | 3 | 47.057 | 9.38 | ＜0.01 |
| 組內(nèi) | 140.465 | 28 | 5.017 | ||
| 總 | 281.635 | 31 |
二、隨機(jī)區(qū)組（配伍組)設(shè)計(jì)的多個樣本均數(shù)比較
又稱兩因素方差分析。把總變異分解為處理間變異、區(qū)組間變異及誤差三部分。除推斷k個樣本所代表的總體均數(shù)，μ1，μ2，……μk是否相等外，還要推斷b個區(qū)組所代表的總體均數(shù)是否相等。也就是說，除比較多個處理的差別有無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義外，還要比較區(qū)組間的差別有無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。該設(shè)計(jì)考慮了個體變異對處理的影響，故可提高檢驗(yàn)效率。
表19-10隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的多個樣本均數(shù)比較的方差分析公式
| 變異來源 | 離均差平方和SS | 自由度v | 均方MS | F |
| 總 | ΣX2-C | N-1 | ||
| 處理間 |  |
k-1 | SS處理/v處理 | MS處理/MS誤差 |
| 區(qū)組間 |  |
b-1 | SS區(qū)組/v區(qū)組 | MS區(qū)組MS誤差 |
| 誤差 | SS總-SS處理-SS區(qū)組 | V總-v處理-v區(qū)組 | SS誤差/v誤差 |
C、k、N的意義同表19-6，b為區(qū)組數(shù)
例19.10為研究酵解作用對血糖濃度的影響，從8名健康人中抽血并制成血濾液。每個受試者的血濾液被分成4份，再隨機(jī)地把4份血濾液分別放置0，45，90，135分鐘，測定其血溏濃度（表19-11)，試問放置不同時間的血糖濃度有無差別？
處理間：
H0：四個不同時間血糖濃度的總體均數(shù)相等，即μ1=μ2=μ3=μ4
表19-11 血濾放置不同時間的血糖濃度（mmol/L)
|
區(qū)組號 |
放置時間（分) | 受試者小計(jì)
ΣXijj | |||
| 0 | 45 | 90 | 135 | ||
| 1 | 5.27 | 5.27 | 4.94 | 4.61 | 20.09 |
| 2 | 5.27 | 5.22 | 4.88 | 4.66 | 20.03 |
| 3 | 5.88 | 5.83 | 5.38 | 5.00 | 22.09 |
| 4 | 5.44 | 5.38 | 5.27 | 5.00 | 21.09 |
| 5 | 5.66 | 5.44 | 5.38 | 4.88 | 21.36 |
| 6 | 6.22 | 6.22 | 5.61 | 5.22 | 23.27 |
| 7 | 5.83 | 5.72 | 5.38 | 4.88 | 21.81 |
| 8 | 5.27 | 5.11 | 5.00 | 4.44 | 19.82 |
| ΣXij j | 44.84 | 44.19 | 41.84 | 38.69 | 169.56(ΣX) |
| Ni | 8 | 8 | 8 | 8 | 32(N) |
| Xi | 5.6050 | 5.5238 | 5.2300 | 4.8363 | |
| ΣX2ij j | 252.1996 | 245.0671 | 219.2962 | 187.5585 | 904.1214(ΣX2) |
H1：四個總體均數(shù)不等或不全相等
α=0.05
區(qū)組間：
H0：八個區(qū)組的總體均數(shù)相等，即μ1=μ2=……μ8
H1：八個區(qū)組的總體均數(shù)不等或不全相等
α=0.05
先作表19-11下半部分和右側(cè)一欄的基本計(jì)算。
C=(ΣX)2/N=(169.56)2/32=898.45605
SS總=ΣX2-C=904.1214-898.45605=5.66535
V總=N-1=32-1=31
V處理=k-1=4-1=3
V區(qū)組=b-1=8-1=7
SS誤差=SS總-SS處理-SS區(qū)組=5.66535-2.90438-2.49800=0.26297
V誤差=（k-1)(b-1)=3×7=21
MS處理=SS處理/v處理=2.90438/3=0.9681
MS區(qū)組=SS區(qū)組/v區(qū)組=2.49800/7=0.3569
MS誤差=SS誤差/v誤差=0.26297/21=0.0125
F處理=MS處理/MS誤差=0.9681/0.0125=77.448
F區(qū)組=MS區(qū)組/MS誤差=0.3569/0.0125=28.552
推斷處理間的差別，按v1=3，v2=21查F界值表，得F0.005(3,21)=3.07,F0.01(3,21)=4.87,P＜0.01；推斷區(qū)組間的差別，按v1=7，v2=21查F界值表，得F0.05(7,21)=2.49,F0.01(7,21)=3.64,P＜0.01。按α=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)皆拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為放置時間長短會影響血糖濃度且不同受試者的血糖濃度亦有差別。但尚不能認(rèn)為任兩個不同放置時間的血糖濃度總體均數(shù)皆有差別，必要時可進(jìn)一步作兩兩比較的q檢驗(yàn)。
表19-12 例19.10資料的方差分析表
| 變異來源 | SS | v | MS | F | P |
| 處理間 | 2.90438 | 3 | 0.9681 | 77.448 | ＜0.01 |
| 區(qū)組間 | 2.49800 | 7 | 0.3569 | 28.552 | ＜0.01 |
| 誤差 | 0.26297 | 21 | 0.0125 | ||
| 總 | 5.66538 | 31 |
三、多個樣本均數(shù)間的兩兩比較的q檢驗(yàn)
經(jīng)方差分析后，若按α=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)不拒絕H0，通常就不再作進(jìn)一步分析；若按α=0.05甚至α=0.01檢驗(yàn)水準(zhǔn)拒絕H0，且需了解任兩個總體均數(shù)間是否都存在差別，可進(jìn)一步作多個樣本均數(shù)間的兩兩比較。兩兩比較的方法較多，在此僅介紹較常用的q檢驗(yàn)（Newman-Keuls法)
公式（19.13)
(各組ni相等) 公式（19.14)
�。ǜ鹘Mni不等) 公式（19.15)
式中，xＡ-xＢ為兩兩對比中，任兩個對比組A、B的樣本均數(shù)之差；sxA-xB為兩樣本均數(shù)差的標(biāo)準(zhǔn)誤；ni為各處理組的樣本含量；nA,nB分別為A、B兩對比組的樣本含量；MS誤差為單因素方差分析中的組內(nèi)均方（MS組內(nèi))或兩因素方差分析中的誤差均方（MS誤差)。
計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量為q，按表19-13所示關(guān)系作判斷。
例19.11 對例19.9資料作兩兩比較
H0:任兩個季節(jié)的湖水氯化物含量的總體均數(shù)相等，即μA=μB
H1：任兩總體均數(shù)不等，即μA≠μB
表19-13 |q| 值、P值與統(tǒng)計(jì)結(jié)論
| α | |q| | P值 | 統(tǒng)計(jì)結(jié)論 |
| 0.05 | ＜q0.05(v.a) | ＞0.05 | 不拒絕H0，差別無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義 |
| 0.05 | ≥q0.05(v.a) | ≤0.05 | 拒絕H0。接受H1，差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義 |
| 0.01 | ≥q0.01(v.a) | ≤0.01 | 拒絕H0，接受H1，差別有高度統(tǒng)計(jì)學(xué)意義 |
α= 0.05
1．將四個樣本的均數(shù)由大到小排列編秩，注明處理組。
| xi | 167.9 | 159.3 | 131.9 | 129.3 |
| 處理組 | 春 | 夏 | 秋 | 冬 |
| 秩次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
2．計(jì)算 sxA-xB本例各處理組的樣本含量n1相等，按式（19，14)計(jì)算兩均數(shù)差的標(biāo)準(zhǔn)誤。已知MS組內(nèi)=5.017,n=8
3．列兩兩比較的q檢驗(yàn)計(jì)算表（表19-14)
表19-14 兩兩比較的q檢驗(yàn)計(jì)算表
| A與B
（1) |
xＡ-xＢ
（2) |
組數(shù)，a
（3) |
q值
（4)=（2)/0.7919 |
q0.05(v.a)
(5) |
q0.01(v.a)
(6) |
P值
（7) |
| （1)與（4) | 38.6 | 4 | 48.744 | 3.85 | 4.80 | ＜0.01 |
| （1)與（3) | 36.0 | 3 | 45.460 | 3.49 | 4.45 | ＜0.01 |
| （1)與（2) | 8.6 | 2 | 10.860 | 2.89 | 3.89 | ＜0.01 |
| （2)與（4) | 30.0 | 3 | 37.884 | 3.49 | 4.45 | ＜0.01 |
| （2)與（3) | 27.4 | 2 | 34.600 | 2.89 | 3.89 | ＜0.01 |
| （2)與（4) | 2.6 | 2 | 3.283 | 2.89 | 3.89 | ＜0.05 |
表中第（1)欄為各對比組，如第一行1與4，指A為第1組，B為第4組。第（2)欄為兩對比組均數(shù)之差，如第一行為X1與X4之差，余類推。第（3)欄為四個樣本均數(shù)按大小排列時，A、B兩對比組范圍內(nèi)所包含的組數(shù)a，如第一“1與4”范圍內(nèi)包含4個組，故a=4。第（4)欄是按式（19.13)計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量q值，式中的分母0.7919是按式（19.14)計(jì)算出來的SXA-XB。第（5)、（6)欄是根據(jù)誤差自由度v與組數(shù)a查附表19-3q界值表所得的q界值,本例v誤差=28，因q界值表中自由度一欄無28，可用近似值30或用內(nèi)插法得出q界值，本例用近似值30查表，當(dāng)a=4時，q0.05(30,4)=3.85,q0.01(30,4)=4.80 ,余類推。第（7)欄是按表19-13判定的。
4．結(jié)論由表19-14可見，除秋季與冬季為P＜0.05外，其它任兩對比組皆為P＜0.01，按α=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)均拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為不同季節(jié)的湖水氯化物含量皆不同，春季氯化物含量最高，冬季含量最低。
